Comment calculer l’hypoténuse d’un triangle rectangle ?
Pour le calcul de l’hypoténuse, élevez au carré les deux côtés de l’angle droit, additionnez-les, puis prenez la racine carrée : c = √(a² + b²). Avec a = 3 cm et b = 4 cm, on obtient c = √(9 + 16) = √25 = 5 cm.
L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est toujours le plus long des trois côtés, ce qui donne un contrôle immédiat : si votre résultat est plus petit que l’un des deux autres côtés, une étape est fausse. Le théorème de Pythagore, vu en classe de quatrième, s’énonce ainsi : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Le calculateur ci-dessus applique cette relation dès que vous choisissez « les 2 côtés de l’angle droit ». Il affiche en même temps les deux angles aigus, l’aire, le périmètre et la hauteur issue de l’angle droit, ce qui évite d’enchaîner plusieurs calculs à la main. Les longueurs doivent être exprimées dans la même unité : convertissez d’abord les millimètres en centimètres ou les centimètres en mètres si vos mesures sont mélangées.
Calculer un côté du triangle rectangle quand on connaît l’hypoténuse
Si l’hypoténuse c et un côté a sont connus, le côté manquant vaut b = √(c² − a²). On soustrait cette fois les carrés. Exemple : c = 10 m et a = 6 m donnent b = √(100 − 36) = √64 = 8 m.
C’est la même égalité c² = a² + b², simplement réorganisée pour isoler b². L’erreur classique consiste à additionner par réflexe : on obtiendrait alors √136 ≈ 11,66 m, une valeur plus grande que l’hypoténuse, ce qui est impossible. Le calculateur refuse d’ailleurs une hypoténuse inférieure ou égale à l’autre côté et l’indique en clair.
En devoir, rédigez toujours les trois temps : « Le triangle ABC est rectangle en A, donc d’après le théorème de Pythagore BC² = AB² + AC². » Remplacez ensuite par les valeurs, calculez, puis concluez avec l’unité et, si besoin, l’arrondi demandé (au dixième, au millimètre…).
Comment calculer un angle dans un triangle rectangle ?
Pour calculer un angle, choisissez le rapport trigonométrique qui utilise les deux longueurs connues : sin α = opposé ÷ hypoténuse, cos α = adjacent ÷ hypoténuse, tan α = opposé ÷ adjacent. Appliquez ensuite la fonction réciproque (arcsin, arccos ou arctan) de la calculatrice.
Le moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA résume les trois formules : Sinus = Opposé sur Hypoténuse, Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse, Tangente = Opposé sur Adjacent. Le côté « opposé » et le côté « adjacent » dépendent de l’angle étudié : le côté opposé ne touche pas l’angle, le côté adjacent le touche et n’est pas l’hypoténuse.
Exemple : un triangle a pour côtés de l’angle droit 3 et 4. Pour l’angle α opposé au côté 3, tan α = 3 ÷ 4 = 0,75, donc α = arctan(0,75) ≈ 36,87°. Le deuxième angle aigu se déduit sans nouveau calcul trigonométrique : β = 90° − 36,87° = 53,13°, puisque la somme des angles d’un triangle vaut 180°.
Sur une calculatrice, les touches s’appellent sin⁻¹, cos⁻¹ et tan⁻¹ (ou Arcsin, Arccos, Arctan). Vérifiez qu’elle est réglée en degrés (mode DEG) et non en radians : un résultat comme 0,6435 au lieu de 36,87 trahit le mode radian. Notre calculateur d’angle travaille directement en degrés.
- Je connais l’opposé et l’hypoténuse : α = arcsin(opposé ÷ hypoténuse).
- Je connais l’adjacent et l’hypoténuse : α = arccos(adjacent ÷ hypoténuse).
- Je connais l’opposé et l’adjacent : α = arctan(opposé ÷ adjacent).
- Je connais un angle aigu : l’autre vaut 90° moins cet angle.
Calculer une longueur à partir d’un angle et d’un côté
Avec un angle aigu et un côté, la trigonométrie donne les deux autres côtés : opposé = hypoténuse × sin α, adjacent = hypoténuse × cos α, opposé = adjacent × tan α. Si la longueur cherchée est au dénominateur, on divise : hypoténuse = opposé ÷ sin α.
Prenons une hypoténuse de 10 cm et un angle de 30°. Le côté opposé vaut 10 × sin 30° = 10 × 0,5 = 5 cm et le côté adjacent 10 × cos 30° ≈ 8,66 cm. On peut contrôler avec Pythagore : 5² + 8,66² ≈ 25 + 75 = 100 = 10². Ce double contrôle est le meilleur réflexe pour repérer une inversion entre sinus et cosinus.
Les trois modes « un côté et l’angle opposé », « un côté et l’angle adjacent » et « l’hypoténuse et un angle » du calculateur couvrent toutes les combinaisons utiles. Il suffit de connaître deux informations dont au moins une longueur : deux angles seuls ne fixent que la forme du triangle, pas sa taille.
Exemples corrigés de calcul du triangle rectangle
Le tableau résout sept triangles rectangles classiques avec les mêmes fonctions que le calculateur. Les longueurs sont dans une unité quelconque, les angles en degrés et l’aire dans l’unité au carré. Chaque ligne peut être retrouvée en saisissant les deux données dans l’outil.
Le cas a = b = 5 est le demi-carré : les deux angles aigus valent 45° et l’hypoténuse est la diagonale du carré de côté 5, soit 5√2 ≈ 7,07. Le cas c = 10 et α = 30° illustre la propriété du demi-triangle équilatéral : le côté opposé à 30° mesure exactement la moitié de l’hypoténuse.
| Données | Calcul clé | a | b | Hypoténuse c | α | β | Aire |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| a = 6 et b = 8 | c = √(36 + 64) | 6 | 8 | 10 | 36,9° | 53,1° | 24 |
| a = 5 et b = 5 | c = √50 = 5√2 | 5 | 5 | 7,07 | 45° | 45° | 12,5 |
| c = 13 et a = 5 | b = √(169 − 25) | 5 | 12 | 13 | 22,6° | 67,4° | 30 |
| c = 10 et a = 7 | b = √(100 − 49) | 7 | 7,14 | 10 | 44,4° | 45,6° | 24,99 |
| c = 10 et α = 30° | a = 10 × sin 30° | 5 | 8,66 | 10 | 30° | 60° | 21,65 |
| b = 4 et α = 60° | a = 4 × tan 60° | 6,93 | 4 | 8 | 60° | 30° | 13,86 |
| a = 2,5 et α = 20° | c = 2,5 ÷ sin 20° | 2,5 | 6,87 | 7,31 | 20° | 70° | 8,59 |
Comment calculer l’aire d’un triangle rectangle ?
L’aire d’un triangle rectangle est égale au produit des deux côtés de l’angle droit divisé par deux : A = a × b ÷ 2. Un triangle de 6 m sur 8 m a donc une aire de 6 × 8 ÷ 2 = 24 m². L’hypoténuse n’intervient pas dans ce calcul.
La justification est visuelle : deux triangles rectangles identiques accolés par leur hypoténuse forment un rectangle de côtés a et b. Le triangle occupe donc la moitié de ce rectangle. C’est un cas particulier de la formule générale base × hauteur ÷ 2, où l’un des côtés de l’angle droit sert de base et l’autre de hauteur.
Si vous ne connaissez que l’hypoténuse et un côté, calculez d’abord le côté manquant par Pythagore, puis appliquez la formule. Avec l’hypoténuse c et un angle α, l’aire vaut directement c² × sin α × cos α ÷ 2. Pour une surface au sol, pensez à exprimer le résultat en m² et non en m.
Comment calculer la hauteur d’un triangle rectangle ?
La hauteur issue de l’angle droit, perpendiculaire à l’hypoténuse, vaut h = a × b ÷ c. Pour le triangle 3-4-5, h = 3 × 4 ÷ 5 = 2,4. Les deux autres hauteurs sont les côtés de l’angle droit eux-mêmes.
Cette formule vient de l’égalité de deux expressions de l’aire : a × b ÷ 2 = c × h ÷ 2. En la simplifiant, on obtient h = ab ÷ c. Le pied de cette hauteur partage l’hypoténuse en deux segments de longueurs a² ÷ c et b² ÷ c, soit 1,8 et 3,2 pour le triangle 3-4-5 ; leur produit est égal à h² (1,8 × 3,2 = 5,76 = 2,4²).
Pour un triangle quelconque, la hauteur se calcule autrement : à partir de l’aire (formule de Héron) divisée par la demi-base, ou par la trigonométrie si l’on connaît un angle. Le triangle rectangle reste le cas le plus simple, ce qui explique qu’on découpe souvent une figure en triangles rectangles pour trouver une hauteur.
Périmètre d’un triangle rectangle
Le périmètre est la somme des trois côtés : P = a + b + c. Quand l’hypoténuse est inconnue, on la calcule d’abord par Pythagore. Exemple : a = 5 et b = 12 donnent c = 13, donc P = 5 + 12 + 13 = 30.
Le périmètre sert notamment à estimer une longueur de bordure, de plinthe ou de grillage autour d’une parcelle triangulaire. Pour les autres figures (cercle, trapèze, polygone), utilisez le calculateur de périmètre dédié.
Réciproque de Pythagore : comment savoir si un triangle est rectangle ?
Calculez le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres. S’ils sont égaux, le triangle est rectangle, et l’angle droit est opposé au plus grand côté. S’ils diffèrent, il ne l’est pas : c’est la contraposée du théorème.
Exemple : 6, 8 et 10. On a 10² = 100 et 6² + 8² = 36 + 64 = 100 : le triangle est rectangle. Avec 6, 7 et 9, on trouve 81 d’un côté et 85 de l’autre : il n’est pas rectangle. Lorsque le carré du grand côté est inférieur à la somme, les trois angles sont aigus ; lorsqu’il est supérieur, l’un des angles est obtus.
Le mode « Réciproque » du calculateur fait cette comparaison et tolère un écart de 0,1 % pour des longueurs mesurées au mètre ruban, qui ne tombent jamais pile. En mathématiques, en revanche, l’égalité doit être exacte : avec des valeurs décimales, faites le calcul complet sans arrondir les carrés.
Tableau des triplets pythagoriciens
Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois nombres entiers vérifiant a² + b² = c². Le plus connu est 3-4-5. Tous leurs multiples (6-8-10, 9-12-15…) sont aussi des triplets ; le tableau liste les triplets primitifs jusqu’à 65.
Ces triplets sont produits par la formule d’Euclide : pour deux entiers m > n, premiers entre eux et de parités différentes, a = m² − n², b = 2mn et c = m² + n² forment un triplet primitif. Ils sont pratiques pour fabriquer des exercices dont les résultats tombent juste, ou pour tracer un angle droit sur un chantier.
| Côté a | Côté b | Hypoténuse c | Vérification a² + b² = c² | Angle aigu α |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9 + 16 = 25 | 36,87° |
| 5 | 12 | 13 | 25 + 144 = 169 | 22,62° |
| 8 | 15 | 17 | 64 + 225 = 289 | 28,07° |
| 7 | 24 | 25 | 49 + 576 = 625 | 16,26° |
| 20 | 21 | 29 | 400 + 441 = 841 | 43,6° |
| 12 | 35 | 37 | 144 + 1225 = 1369 | 18,92° |
| 9 | 40 | 41 | 81 + 1600 = 1681 | 12,68° |
| 28 | 45 | 53 | 784 + 2025 = 2809 | 31,89° |
| 11 | 60 | 61 | 121 + 3600 = 3721 | 10,39° |
| 16 | 63 | 65 | 256 + 3969 = 4225 | 14,25° |
| 33 | 56 | 65 | 1089 + 3136 = 4225 | 30,51° |
Valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente
Les valeurs remarquables à connaître sont sin 30° = 0,5, cos 60° = 0,5, sin 45° = cos 45° = √2 ÷ 2 ≈ 0,7071 et tan 45° = 1. Le tableau donne les rapports des angles courants et la pente correspondante.
Le sinus et le cosinus d’un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1, puisqu’on divise un côté par l’hypoténuse, plus grande. La tangente, elle, peut dépasser 1 : elle vaut 1 à 45° et croît sans limite quand l’angle approche 90°.
| Angle | sin | cos | tan | Pente équivalente |
|---|---|---|---|---|
| 10° | 0,1736 | 0,9848 | 0,1763 | 17,6 % |
| 15° | 0,2588 | 0,9659 | 0,2679 | 26,8 % |
| 20° | 0,342 | 0,9397 | 0,364 | 36,4 % |
| 30° | 0,5 | 0,866 | 0,5774 | 57,7 % |
| 45° | 0,7071 | 0,7071 | 1 | 100 % |
| 60° | 0,866 | 0,5 | 1,7321 | 173,2 % |
| 75° | 0,9659 | 0,2588 | 3,7321 | 373,2 % |
Applications concrètes : équerre 3-4-5, écran, toiture, échelle
Le triangle rectangle sert tous les jours : vérifier un angle droit avec la règle 3-4-5, calculer la diagonale d’un écran, convertir une pente de toit en degrés ou placer une échelle à environ 75° du sol.
- Équerre de maçon : mesurez 3 m sur un mur, 4 m sur l’autre ; si la diagonale entre les deux repères fait exactement 5 m, l’angle est droit. Pour une grande dalle, prenez 6-8-10 ou 9-12-15 afin de réduire l’erreur relative.
- Diagonale d’écran : la taille annoncée en pouces est l’hypoténuse du rectangle de l’image. Un écran 16:9 de 55 pouces mesure environ 121,8 cm de large sur 68,5 cm de haut (voir tableau ci-dessous).
- Toiture : une pente de 35 % monte de 35 cm par mètre horizontal, soit un angle de 19,3°. La longueur du rampant, utile pour commander les liteaux ou les tuiles, est l’hypoténuse : √(1² + 0,35²) ≈ 1,06 m par mètre de projection.
- Échelle : la règle d’usage consiste à écarter le pied du mur d’environ un quart de la hauteur d’appui, ce qui donne un angle proche de 75°. Une échelle de 4 m posée à 75° atteint 4 × sin 75° ≈ 3,86 m de hauteur, avec un pied à 4 × cos 75° ≈ 1,04 m du mur.
- Rampe d’accès ou escalier : la pente et la longueur de la rampe se déduisent de la hauteur à franchir et de la place disponible, avec tan α = hauteur ÷ longueur au sol.
Convertir une pente en degrés (toit, rampe, route)
Une pente en pourcentage est la tangente de l’angle multipliée par 100. Pour passer en degrés : angle = arctan(pente ÷ 100). Une pente de 100 % correspond donc à 45°, et non à 90°.
Cette confusion entre pourcentage et degrés est fréquente dans les devis de couverture ou de terrassement. Le tableau associe chaque pente à son angle et à la longueur réelle de la surface inclinée, qui est toujours un peu plus grande que la distance horizontale.
| Pente | Angle avec l’horizontale | Hauteur gagnée pour 1 m horizontal | Longueur du rampant pour 1 m horizontal |
|---|---|---|---|
| 5 % | 2,9° | 0,05 m | 1 m |
| 10 % | 5,7° | 0,1 m | 1 m |
| 25 % | 14° | 0,25 m | 1,03 m |
| 30 % | 16,7° | 0,3 m | 1,04 m |
| 35 % | 19,3° | 0,35 m | 1,06 m |
| 45 % | 24,2° | 0,45 m | 1,1 m |
| 60 % | 31° | 0,6 m | 1,17 m |
| 80 % | 38,7° | 0,8 m | 1,28 m |
| 100 % | 45° | 1 m | 1,41 m |
Diagonale d’écran : largeur et hauteur en centimètres
Pour un écran au format 16:9, largeur = diagonale × 16 ÷ √337 et hauteur = diagonale × 9 ÷ √337, puis on multiplie par 2,54 pour passer des pouces aux centimètres. Le tableau donne les tailles courantes de téléviseurs et de moniteurs.
| Diagonale | En centimètres | Largeur (16:9) | Hauteur (16:9) |
|---|---|---|---|
| 13,3 pouces | 33,8 cm | 29,4 cm | 16,6 cm |
| 15,6 pouces | 39,6 cm | 34,5 cm | 19,4 cm |
| 24 pouces | 61 cm | 53,1 cm | 29,9 cm |
| 27 pouces | 68,6 cm | 59,8 cm | 33,6 cm |
| 32 pouces | 81,3 cm | 70,8 cm | 39,8 cm |
| 43 pouces | 109,2 cm | 95,2 cm | 53,5 cm |
| 55 pouces | 139,7 cm | 121,8 cm | 68,5 cm |
| 65 pouces | 165,1 cm | 143,9 cm | 80,9 cm |
| 75 pouces | 190,5 cm | 166 cm | 93,4 cm |
Les erreurs fréquentes dans le calcul d’un triangle rectangle
Les pièges les plus courants sont d’additionner au lieu de soustraire pour un côté de l’angle droit, d’oublier la racine carrée, de confondre côté opposé et adjacent, et d’utiliser la calculatrice en radians.
- Appliquer Pythagore à un triangle qui n’est pas rectangle : le théorème ne s’applique qu’avec un angle droit, démontré ou donné par l’énoncé.
- Prendre un côté de l’angle droit pour l’hypoténuse : l’hypoténuse fait toujours face à l’angle droit.
- Arrondir trop tôt : gardez les valeurs exactes (√50, sin 35°…) jusqu’au résultat final, puis arrondissez une seule fois.
- Mélanger les unités : 120 cm et 1,6 m doivent être convertis avant le calcul (1,2 m et 1,6 m donnent 2 m).
- Écrire l’aire avec l’hypoténuse : A = a × b ÷ 2, pas a × c ÷ 2.
Questions fréquentes
Quelle est la formule pour calculer l’hypoténuse ?
c = √(a² + b²), où a et b sont les côtés de l’angle droit. Exemple : a = 9 et b = 12 donnent c = √225 = 15.
Comment calculer un côté d’un triangle rectangle sans l’hypoténuse ?
Il faut alors un angle aigu : côté opposé = côté adjacent × tan α. Sans angle ni hypoténuse, un seul côté ne suffit pas à déterminer le triangle.
Comment calculer un angle avec deux côtés ?
Identifiez la position des côtés par rapport à l’angle, puis utilisez arctan(opposé ÷ adjacent), arcsin(opposé ÷ hypoténuse) ou arccos(adjacent ÷ hypoténuse).
Comment calculer l’aire d’un triangle rectangle avec l’hypoténuse ?
Calculez d’abord le côté manquant avec b = √(c² − a²), puis A = a × b ÷ 2. Avec c = 10 et a = 6 : b = 8 et A = 24.
Comment calculer la hauteur d’un triangle rectangle ?
La hauteur relative à l’hypoténuse vaut a × b ÷ c. Pour 6, 8 et 10, elle mesure 6 × 8 ÷ 10 = 4,8.
La somme des angles d’un triangle rectangle fait-elle 180° ?
Oui : 90° pour l’angle droit et 90° à se partager entre les deux angles aigus, qui sont donc complémentaires.
Comment savoir quel côté est l’hypoténuse ?
C’est le côté opposé à l’angle droit, celui qui ne le touche pas. C’est aussi le plus long des trois.
Peut-on utiliser Pythagore dans un triangle quelconque ?
Non. Pour un triangle sans angle droit, on utilise la loi des cosinus : c² = a² + b² − 2ab cos γ, qui redonne Pythagore quand γ = 90°.
Comment calculer la diagonale d’un rectangle ?
La diagonale coupe le rectangle en deux triangles rectangles : d = √(L² + l²). Une pièce de 4 m sur 3 m a une diagonale de 5 m.
Ce calculateur d’angle fonctionne-t-il en radians ?
Il affiche les angles en degrés. Pour convertir en radians, multipliez par π ÷ 180 : 30° = π/6 ≈ 0,5236 rad.
Sources et méthode
Les calculs reposent sur les formules visibles dans l’outil. Les données réglementaires ou médicales sont comparées aux références ci-dessous à la date de mise à jour.
- Programme de mathématiques du cycle 4 (annexe 2) — Ministère de l’Éducation nationale · Théorème de Pythagore, réciproque et contraposée ; cosinus, sinus et tangente dans le triangle rectangle
- Ressources d’accompagnement du programme de mathématiques au cycle 4 — Éduscol · Espace et géométrie, exemples d’activités