Quelle est la formule de l’équation de la tangente ?
Si une fonction f est dérivable en a, la tangente à sa courbe au point d’abscisse a a pour équation y = f(a) + f′(a)(x − a). Le nombre f′(a) est son coefficient directeur.
Le point de contact est A(a ; f(a)). La formule contient donc les deux informations qui définissent une droite : un point qu’elle traverse et sa pente. En développant, on obtient la forme réduite y = f′(a)x + f(a) − a f′(a).
Comment trouver l’équation d’une tangente ?
Calculez successivement f(a), la dérivée f′(x), puis f′(a). Remplacez ces trois valeurs dans y = f(a) + f′(a)(x − a) et développez seulement à la fin.
- Repérez l’abscisse a du point de tangence.
- Calculez l’ordonnée f(a).
- Déterminez la fonction dérivée f′.
- Calculez le nombre dérivé f′(a).
- Remplacez dans la formule, puis réduisez l’équation.
- Vérifiez que x = a redonne bien y = f(a).
Exemple : tangente à f(x) = x² au point d’abscisse 2
Pour f(x) = x², on a f(2) = 4 et f′(x) = 2x, donc f′(2) = 4. La tangente vaut y = 4 + 4(x − 2), soit y = 4x − 4.
La vérification est immédiate : pour x = 2, la droite donne y = 8 − 4 = 4, exactement l’ordonnée du point de contact. Sa pente 4 coïncide aussi avec le nombre dérivé.
Que signifie le nombre dérivé f′(a) ?
Le nombre dérivé f′(a) mesure le taux de variation instantané de la fonction en a. Graphiquement, c’est le coefficient directeur de la tangente.
| Valeur de f′(a) | Aspect de la tangente | Lecture locale |
|---|---|---|
| Positive | Montante de gauche à droite | La fonction augmente localement |
| Négative | Descendante de gauche à droite | La fonction diminue localement |
| Nulle | Horizontale | Point stationnaire possible |
| Non définie | Pas de formule avec f′(a) | La fonction n’est pas dérivable en ce point |
Quelles erreurs éviter dans une équation de tangente ?
Les erreurs les plus fréquentes consistent à confondre f(a) et f′(a), à oublier le terme x − a ou à développer avec un mauvais signe.
Gardez la forme au point tant que les valeurs ne sont pas toutes remplacées. Par exemple, avec a = −3, le terme x − a devient x + 3. Une fois l’équation réduite, remplacez x par a : si vous ne retrouvez pas f(a), il y a une erreur de calcul.
Tangente horizontale, affine ou non définie
Si f′(a) = 0, la tangente est horizontale et son équation est y = f(a). Pour une fonction affine f(x) = mx + p, la tangente en tout point est la droite elle-même.
Une courbe peut avoir une tangente verticale ou un point anguleux sans que f′(a) soit un nombre réel exploitable par cette formule. Le calculateur demande donc que f(a) et f′(a) aient déjà été déterminés.
Questions fréquentes
Quelle est l’équation de la tangente en a ?
y = f(a) + f′(a)(x − a), à condition que f soit dérivable en a.
Comment trouver le coefficient directeur de la tangente ?
Calculez le nombre dérivé f′(a). C’est directement le coefficient directeur de la tangente.
Comment vérifier une équation de tangente ?
Remplacez x par a : le résultat doit être f(a). Vérifiez aussi que le coefficient de x est f′(a).
Que devient la tangente si f′(a) = 0 ?
Elle est horizontale et son équation se réduit à y = f(a).
Le calculateur dérive-t-il automatiquement une fonction ?
Non. Il construit la droite à partir de l’abscisse a, de f(a) et de f′(a), que vous devez calculer auparavant.
Une tangente coupe-t-elle toujours la courbe en un seul point ?
Non. Elle coïncide localement avec la direction de la courbe au point de tangence, mais peut la recouper ailleurs ou même au voisinage du point.
Sources et méthode
Les calculs reposent sur les formules visibles dans l’outil. Les données réglementaires ou médicales sont comparées aux références ci-dessous à la date de mise à jour.
- Programme de mathématiques : dérivée et équation de la tangente — Éduscol / ministère de l’Éducation nationale