Quelle est la formule de l’équation de la tangente ?
Si une fonction f est dérivable en a, la tangente à sa courbe au point d’abscisse a a pour équation y = f(a) + f′(a)(x − a). Le nombre f′(a) est son coefficient directeur.
Le point de contact est A(a ; f(a)). La formule contient donc les deux informations qui définissent une droite : un point qu’elle traverse et sa pente. En développant, on obtient la forme réduite y = f′(a)x + f(a) − a f′(a).
Comment trouver l’équation d’une tangente ?
Calculez successivement f(a), la dérivée f′(x), puis f′(a). Remplacez ces trois valeurs dans y = f(a) + f′(a)(x − a) et développez seulement à la fin.
- Repérez l’abscisse a du point de tangence.
- Calculez l’ordonnée f(a).
- Déterminez la fonction dérivée f′.
- Calculez le nombre dérivé f′(a).
- Remplacez dans la formule, puis réduisez l’équation.
- Vérifiez que x = a redonne bien y = f(a).
Exemple : tangente à f(x) = x² au point d’abscisse 2
Pour f(x) = x², on a f(2) = 4 et f′(x) = 2x, donc f′(2) = 4. La tangente vaut y = 4 + 4(x − 2), soit y = 4x − 4.
La vérification est immédiate : pour x = 2, la droite donne y = 8 − 4 = 4, exactement l’ordonnée du point de contact. Sa pente 4 coïncide aussi avec le nombre dérivé.
Deuxième exemple, avec f(x) = x³ − 3x en a = 2 : f(2) = 8 − 6 = 2, f′(x) = 3x² − 3 donc f′(2) = 9. La tangente vaut y = 2 + 9(x − 2), soit y = 9x − 16. Saisissez « x^3 - 3x » et 2 dans le calculateur : il affiche les mêmes étapes et trace la courbe avec sa tangente.
Que signifie le nombre dérivé f′(a) ?
Le nombre dérivé f′(a) mesure le taux de variation instantané de la fonction en a. Graphiquement, c’est le coefficient directeur de la tangente.
| Valeur de f′(a) | Aspect de la tangente | Lecture locale |
|---|---|---|
| Positive | Montante de gauche à droite | La fonction augmente localement |
| Négative | Descendante de gauche à droite | La fonction diminue localement |
| Nulle | Horizontale | Point stationnaire possible |
| Non définie | Pas de formule avec f′(a) | La fonction n’est pas dérivable en ce point |
Quelles erreurs éviter dans une équation de tangente ?
Les erreurs les plus fréquentes consistent à confondre f(a) et f′(a), à oublier le terme x − a ou à développer avec un mauvais signe.
Gardez la forme au point tant que les valeurs ne sont pas toutes remplacées. Par exemple, avec a = −3, le terme x − a devient x + 3. Une fois l’équation réduite, remplacez x par a : si vous ne retrouvez pas f(a), il y a une erreur de calcul.
Tangente horizontale, affine ou non définie
Si f′(a) = 0, la tangente est horizontale et son équation est y = f(a). Pour une fonction affine f(x) = mx + p, la tangente en tout point est la droite elle-même.
Une courbe peut avoir une tangente verticale ou un point anguleux sans que f′(a) soit un nombre réel exploitable par cette formule. Dans ce cas, le calculateur n’affiche pas d’équation : il signale un point anguleux (comme pour |x| en 0, avec des pentes −1 à gauche et 1 à droite), un point hors du domaine ou une tangente verticale (comme pour √x en 0).
Tableau des dérivées usuelles
Pour calculer f′(a), il faut d’abord connaître la dérivée de la fonction. Voici les dérivées à connaître en première et en terminale ; les règles de somme, de produit et de quotient permettent ensuite de traiter les fonctions composées de ces briques.
| Fonction f(x) | Dérivée f′(x) | Domaine de dérivabilité |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | ℝ |
| x | 1 | ℝ |
| xⁿ (n entier ≥ 1) | n xⁿ⁻¹ | ℝ |
| 1/x | −1/x² | ℝ* |
| √x | 1/(2√x) | ]0 ; +∞[ |
| eˣ | eˣ | ℝ |
| ln x | 1/x | ]0 ; +∞[ |
| sin x | cos x | ℝ |
| cos x | −sin x | ℝ |
| u + v | u′ + v′ | — |
| u × v | u′v + uv′ | — |
| u / v | (u′v − uv′) / v² | v ≠ 0 |
Tangentes des fonctions usuelles : exemples corrigés
Le tableau applique la formule y = f(a) + f′(a)(x − a) à dix cas classiques. Chaque équation réduite est calculée par la même formule que le calculateur : saisissez la fonction et le point, ou directement a, f(a) et f′(a), pour vérifier une ligne.
À retenir pour le bac : la tangente à eˣ en 0 est y = x + 1, celle de ln x en 1 est y = x − 1 et celle de sin x en 0 est y = x. Elles servent aussi d’approximations au voisinage du point.
| Fonction | Point a | f(a) | f′(a) | Tangente |
|---|---|---|---|---|
| f(x) = x² | 2 | 4 | 4 | y = 4x − 4 |
| f(x) = x² | −1 | 1 | −2 | y = −2x − 1 |
| f(x) = x³ | 1 | 1 | 3 | y = 3x − 2 |
| f(x) = 1/x | 1 | 1 | −1 | y = −x + 2 |
| f(x) = 1/x | 2 | 0,5 | −0,25 | y = −0,25x + 1 |
| f(x) = √x | 4 | 2 | 0,25 | y = 0,25x + 1 |
| f(x) = eˣ | 0 | 1 | 1 | y = x + 1 |
| f(x) = ln x | 1 | 0 | 1 | y = x − 1 |
| f(x) = sin x | 0 | 0 | 1 | y = x |
| f(x) = x² − 3x + 1 | 3 | 1 | 3 | y = 3x − 8 |
La tangente comme approximation affine
Près du point de tangence, la courbe et sa tangente sont très proches : f(a + h) ≈ f(a) + f′(a) × h pour h petit. C’est le principe de l’approximation affine, utile pour estimer une valeur sans calculatrice.
Exemple : √4,1 ≈ √4 + (1/(2√4)) × 0,1 = 2 + 0,025 = 2,025. La valeur exacte est 2,02485… : l’erreur est inférieure à un millième. Plus h grandit, plus l’approximation s’écarte de la courbe.
Trouver le point où la tangente a un coefficient donné
Une tangente parallèle à la droite y = mx + p a le même coefficient directeur m. Il faut donc résoudre f′(x) = m. Pour une tangente horizontale, on résout f′(x) = 0.
- f(x) = x² − 4x : f′(x) = 2x − 4 = 0 donne x = 2 ; la tangente horizontale est y = −4.
- f(x) = x³ : tangente parallèle à y = 3x + 1 ⇔ 3x² = 3 ⇔ x = 1 ou x = −1, soit deux points.
- Si l’équation f′(x) = m n’a pas de solution, aucune tangente n’a ce coefficient directeur.
Tangente passant par un point extérieur à la courbe
Écrivez la tangente au point d’abscisse inconnue a, puis imposez qu’elle passe par le point donné (x₀ ; y₀) : y₀ = f(a) + f′(a)(x₀ − a). On obtient une équation en a, qui peut avoir plusieurs solutions.
Exemple avec f(x) = x² et le point (0 ; −1) : −1 = a² + 2a(0 − a) = −a², donc a = 1 ou a = −1. Les deux tangentes sont y = 2x − 1 et y = −2x − 1.
Position de la courbe par rapport à sa tangente
Étudiez le signe de d(x) = f(x) − [f(a) + f′(a)(x − a)]. Si d(x) ≥ 0, la courbe est au-dessus de la tangente ; si d(x) ≤ 0, elle est en dessous. Une fonction convexe est toujours au-dessus de ses tangentes.
Pour f(x) = x² et a = 2 : d(x) = x² − 4x + 4 = (x − 2)² ≥ 0. La parabole est au-dessus de sa tangente et ne la touche qu’en x = 2. Quand la courbe traverse sa tangente, le point est un point d’inflexion, comme en 0 pour x³.
Questions fréquentes
Quelle est l’équation de la tangente en a ?
y = f(a) + f′(a)(x − a), à condition que f soit dérivable en a.
Comment trouver le coefficient directeur de la tangente ?
Calculez le nombre dérivé f′(a). C’est directement le coefficient directeur de la tangente.
Comment vérifier une équation de tangente ?
Remplacez x par a : le résultat doit être f(a). Vérifiez aussi que le coefficient de x est f′(a).
Que devient la tangente si f′(a) = 0 ?
Elle est horizontale et son équation se réduit à y = f(a).
Le calculateur dérive-t-il automatiquement une fonction ?
Oui, en mode « À partir de f(x) » : il calcule f′(a) par dérivation numérique, précise à environ 10⁻⁸, puis l’arrondit. Il ne fournit pas l’expression de f′(x) ; en devoir, la dérivée doit être justifiée à la main.
Une tangente coupe-t-elle toujours la courbe en un seul point ?
Non. Elle coïncide localement avec la direction de la courbe au point de tangence, mais peut la recouper ailleurs ou même au voisinage du point.
Quelle est la tangente à eˣ en 0 ?
f(0) = 1 et f′(0) = 1, donc y = 1 + 1 × (x − 0), soit y = x + 1.
Quelle est la tangente à ln x en 1 ?
f(1) = 0 et f′(1) = 1, donc y = x − 1.
Comment trouver où la tangente est horizontale ?
Résolvez f′(x) = 0. Chaque solution donne un point où la tangente a pour équation y = f(x).
Comment déterminer f′(a) graphiquement ?
Lisez le coefficient directeur de la tangente tracée : prenez deux points de la droite et calculez (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁).
Sources et méthode
Les calculs reposent sur les formules visibles dans l’outil. Les données réglementaires ou médicales sont comparées aux références ci-dessous à la date de mise à jour.
- Programme d’enseignement de spécialité de mathématiques de la classe de première générale — Éduscol / ministère de l’Éducation nationale · Nombre dérivé, tangente, fonction dérivée