Qu’est-ce qu’un périmètre ?
Le périmètre est la longueur du contour d’une figure : on l’obtient en additionnant la longueur de tous ses côtés. Il s’exprime dans une unité de longueur (cm, m, km), jamais en cm² ou en m².
Imaginez une ficelle posée tout autour de la figure puis tendue : sa longueur est le périmètre. Pour un polygone, il suffit donc d’additionner les côtés. Pour le cercle, qui n’a pas de côté, on utilise le nombre π. Le mot vient du grec peri, « autour », et metron, « mesure ».
Le calculateur couvre neuf figures. Choisissez-la, saisissez les longueurs dans une seule et même unité, et vous obtenez le périmètre, l’aire lorsqu’elle est calculable à partir des mêmes données, ainsi que les longueurs intermédiaires utiles : diagonale, rayon, hypoténuse ou côté du losange.
| Figure | Formule du périmètre | Exemple | Périmètre |
|---|---|---|---|
| Carré | 4 × c | côté 5 cm | 20 cm |
| Rectangle | 2 × (L + l) | 8 cm × 5 cm | 26 cm |
| Cercle | 2 × π × r ou π × d | rayon 5 cm | 31,42 cm |
| Triangle | a + b + c | 5, 6 et 7 cm | 18 cm |
| Triangle rectangle | a + b + √(a² + b²) | côtés 3 et 4 cm | 12 cm |
| Losange | 4 × c | diagonales 8 et 6 cm | 20 cm |
| Parallélogramme | 2 × (a + b) | 7 cm et 4 cm | 22 cm |
| Trapèze | somme des 4 côtés | 10, 6, 5 et 5 cm | 26 cm |
| Hexagone régulier | 6 × c | côté 4 cm | 24 cm |
| Ellipse | approximation de Ramanujan | a = 5 cm, b = 3 cm | ≈ 25,53 cm |
Comment calculer le périmètre d’un cercle ?
Multipliez le diamètre par π, ou le rayon par 2π : P = π × d = 2 × π × r. Un cercle de 5 cm de rayon a un périmètre de 2 × π × 5 ≈ 31,42 cm.
Le périmètre d’un cercle s’appelle aussi sa circonférence. π vaut environ 3,14159 ; utiliser 3,14 suffit pour un exercice, mais donne une petite erreur sur les grands cercles. Le calculateur utilise la valeur complète de π.
Si vous connaissez la circonférence et cherchez le diamètre, divisez par π : une circonférence de 100 cm correspond à un rayon de 15,92 cm et à un diamètre de 31,83 cm. C’est le calcul à faire pour choisir un pot ou un tuyau à partir de son tour mesuré au mètre ruban. Sélectionnez « le périmètre » dans le calculateur pour obtenir cette réciproque.
| Diamètre | Rayon | Périmètre (circonférence) | Aire du disque |
|---|---|---|---|
| 1 cm | 0,5 cm | 3,14 cm | 0,79 cm² |
| 2 cm | 1 cm | 6,28 cm | 3,14 cm² |
| 5 cm | 2,5 cm | 15,71 cm | 19,63 cm² |
| 10 cm | 5 cm | 31,42 cm | 78,54 cm² |
| 20 cm | 10 cm | 62,83 cm | 314,16 cm² |
| 30 cm | 15 cm | 94,25 cm | 706,86 cm² |
| 50 cm | 25 cm | 157,08 cm | 1 963,5 cm² |
| 100 cm | 50 cm | 314,16 cm | 7 853,98 cm² |
Périmètre d’un carré et d’un rectangle
Pour un carré, multipliez le côté par 4 : un carré de 5 cm de côté a un périmètre de 20 cm. Pour un rectangle, additionnez longueur et largeur puis multipliez par 2 : 2 × (8 + 5) = 26 cm.
À l’inverse, le côté d’un carré est son périmètre divisé par 4 : un carré de 36 cm de périmètre a des côtés de 9 cm. Pour un rectangle, le périmètre seul ne suffit pas à retrouver les côtés : il faut aussi connaître la longueur ou la largeur. Avec un périmètre de 26 cm et une longueur de 8 cm, la largeur vaut 26 ÷ 2 − 8 = 5 cm.
Le parallélogramme se calcule comme le rectangle, avec ses deux côtés consécutifs : 2 × (a + b). Attention, la hauteur du parallélogramme sert pour l’aire, pas pour le périmètre.
Périmètre d’un triangle et aire par la formule de Héron
Additionnez les trois côtés : un triangle de 5, 6 et 7 cm a un périmètre de 18 cm. Avec les mêmes trois longueurs, la formule de Héron donne son aire, environ 14,7 cm², sans avoir besoin de la hauteur.
Trois longueurs ne forment pas toujours un triangle : chaque côté doit être strictement plus petit que la somme des deux autres (inégalité triangulaire). Avec 2, 3 et 6 cm, c’est impossible, car 2 + 3 est inférieur à 6. Le calculateur le signale au lieu d’afficher un faux résultat.
Pour un triangle équilatéral, les trois côtés sont égaux, donc P = 3 × c. Pour un triangle isocèle de base b et de côtés égaux c, P = b + 2c.
Calculer l’hypoténuse avec Pythagore, puis le périmètre
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse vaut la racine carrée de la somme des carrés des deux autres côtés : c = √(a² + b²). Avec 5 cm et 12 cm, c = √(25 + 144) = 13 cm, et le périmètre vaut 5 + 12 + 13 = 30 cm.
L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit ; c’est toujours le plus long. Si vous connaissez l’hypoténuse et un côté, l’autre côté vaut √(c² − a²) : avec une hypoténuse de 10 et un côté de 6, le troisième côté vaut √(100 − 36) = 8.
Ce calcul sert aussi hors de la classe : longueur d’un rampant de toit, diagonale d’un écran ou d’une pièce, écartement d’une échelle. Pour une pièce de 4 m × 3 m, la diagonale mesure √(16 + 9) = 5 m, ce qui permet de vérifier qu’un angle est bien droit (méthode du 3-4-5).
Périmètre d’un losange et d’un trapèze
Un losange a quatre côtés égaux : P = 4 × c. Si vous ne connaissez que ses diagonales, le côté vaut √((D/2)² + (d/2)²) ; avec des diagonales de 8 et 6 cm, le côté fait 5 cm et le périmètre 20 cm. Un trapèze se mesure en additionnant ses quatre côtés.
Les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu à angle droit : chaque quart du losange est un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont les demi-diagonales. C’est Pythagore qui donne le côté.
Pour un trapèze isocèle dont on connaît les bases B et b et la hauteur h, les côtés obliques valent √(h² + ((B − b) ÷ 2)²). Avec B = 10, b = 6 et h = 3, chaque côté oblique mesure √(9 + 4) ≈ 3,61, et le périmètre environ 23,21.
Périmètre d’un polygone régulier
Un polygone régulier a tous ses côtés égaux : multipliez la longueur d’un côté par le nombre de côtés. Un hexagone de 4 cm de côté a un périmètre de 6 × 4 = 24 cm ; un octogone de 2 m de côté, 16 m.
Le tableau donne le périmètre et l’aire pour un côté de 1 cm. Pour un autre côté c, multipliez le périmètre par c et l’aire par c². Plus le nombre de côtés augmente, plus le polygone se rapproche d’un cercle.
| Polygone régulier | Nombre de côtés | Périmètre (côté 1 cm) | Aire (côté 1 cm) |
|---|---|---|---|
| Triangle équilatéral | 3 | 3 cm | 0,433 cm² |
| Carré | 4 | 4 cm | 1 cm² |
| Pentagone | 5 | 5 cm | 1,72 cm² |
| Hexagone | 6 | 6 cm | 2,598 cm² |
| Octogone | 8 | 8 cm | 4,828 cm² |
| Décagone | 10 | 10 cm | 7,694 cm² |
| Dodécagone | 12 | 12 cm | 11,196 cm² |
Périmètre d’une ellipse : pourquoi on donne une approximation
Le périmètre d’une ellipse n’a pas de formule exacte simple. Le calculateur utilise l’approximation de Ramanujan, exacte pour un cercle et très précise ailleurs : pour a = 5 cm et b = 3 cm, P ≈ 25,53 cm.
a et b sont les demi-axes, c’est-à-dire la moitié de la grande et de la petite dimension de l’ovale. La formule rapide π × (a + b) donne 25,13 cm pour le même exemple, soit environ 1,5 % de moins : acceptable pour une estimation, pas pour découper une bordure.
L’écart de l’approximation de Ramanujan reste inférieur à 0,05 % même pour une ellipse très aplatie, ce qui est négligeable pour une table ovale, un massif ou une piste.
Périmètre ou aire : ne pas confondre
Le périmètre mesure un contour en mètres, l’aire mesure une surface en m². Deux figures de même aire peuvent avoir des périmètres très différents : un rectangle de 36 m² mesure 24 m de tour s’il est carré, mais 74 m s’il fait 36 m × 1 m.
C’est pour cela que l’on commande une clôture, une bordure ou des plinthes au mètre linéaire, à partir du périmètre, et un gazon, un carrelage ou une peinture au mètre carré, à partir de l’aire. À aire égale, la forme carrée (et, plus encore, le disque) demande le moins de contour.
| Rectangle | Aire | Périmètre |
|---|---|---|
| 6 m × 6 m | 36 m² | 24 m |
| 9 m × 4 m | 36 m² | 26 m |
| 12 m × 3 m | 36 m² | 30 m |
| 18 m × 2 m | 36 m² | 40 m |
| 36 m × 1 m | 36 m² | 74 m |
Erreurs fréquentes dans le calcul d’un périmètre
Les trois erreurs classiques sont : mélanger les unités (des cm avec des m), confondre rayon et diamètre pour le cercle, et utiliser la hauteur d’un triangle ou d’un parallélogramme à la place d’un côté.
- Convertissez toutes les longueurs dans la même unité avant d’additionner : 1,2 m + 45 cm = 1,65 m, pas 46,2.
- Pour un cercle, 2 × π × r et π × d donnent le même résultat ; n’écrivez pas 2 × π × d.
- Pour une clôture, retirez la largeur du portail du périmètre : un jardin de 12 m × 8 m avec un portail de 1 m demande 39 m de grillage.
- Pour une pièce, les plinthes suivent le périmètre moins les ouvertures de portes.
- Arrondissez à la fin, pas pendant le calcul, pour éviter l’accumulation d’erreurs.
Questions fréquentes
Quelle est la formule d’un périmètre ?
Pour un polygone, c’est la somme de ses côtés. Les raccourcis : carré 4 × c, rectangle 2 × (L + l), cercle 2 × π × r.
Comment calculer le périmètre d’un demi-cercle ?
Prenez la moitié de la circonférence et ajoutez le diamètre : π × r + 2r. Pour r = 5 cm, cela fait environ 25,71 cm.
Comment trouver le rayon à partir du périmètre ?
Divisez le périmètre par 2π. Un cercle de 31,42 cm de tour a un rayon d’environ 5 cm.
Le périmètre s’exprime-t-il en m² ?
Non. Un périmètre est une longueur (mm, cm, m, km). Les m² servent à l’aire.
Comment calculer le périmètre d’une figure composée ?
Suivez le contour extérieur et additionnez chaque segment ou arc, sans compter les côtés intérieurs où les figures se touchent.
Comment calculer le côté d’un carré à partir de son périmètre ?
Divisez le périmètre par 4 : 48 cm de périmètre donnent un côté de 12 cm.
Comment calculer une hypoténuse sans calculatrice ?
Reconnaissez les triplets connus : 3-4-5, 5-12-13, 6-8-10, 8-15-17. Sinon, encadrez la racine carrée entre deux carrés parfaits.
Quel est le périmètre d’un cercle de 1 m de diamètre ?
π × 1 m, soit environ 3,14 m.
Sources et méthode
Les calculs reposent sur les formules visibles dans l’outil. Les données réglementaires ou médicales sont comparées aux références ci-dessous à la date de mise à jour.
- Grandeurs et mesures au cycle 4 (document d’accompagnement) — Éduscol, ministère de l’Éducation nationale
- Périmètres et aires au cycle 3 (ressource d’accompagnement) — Éduscol, ministère de l’Éducation nationale
- Ellipse : périmètre et approximations de Ramanujan — Wolfram MathWorld