Comment faire un produit en croix ?
Rangez les valeurs dans un tableau à deux lignes, les grandeurs de même nature dans la même colonne. Multipliez les deux nombres connus situés en diagonale, puis divisez par le troisième. Si 4 objets coûtent 10 €, 6 objets coûtent 10 × 6 ÷ 4 = 15 €.
L’égalité des rapports A / B = C / D équivaut à l’égalité des produits en croix A × D = B × C. C’est de là que vient le nom de la méthode : les deux produits se lisent en croix dans le tableau.
La valeur trouvée s’appelle la quatrième proportionnelle. Le calcul ne dépend pas de l’ordre des lignes : vous pouvez mettre la situation cherchée en haut, tant que chaque colonne contient une seule grandeur, exprimée dans une seule unité.
| Grandeur 1 (quantité) | Grandeur 2 (prix) | |
|---|---|---|
| Situation connue | A = 4 | B = 10 € |
| Situation cherchée | C = 6 | D = 10 × 6 ÷ 4 = 15 € |
Où placer l’inconnue ? Les quatre cas
L’inconnue peut occuper n’importe quelle case. On multiplie toujours les deux valeurs de l’autre diagonale, puis on divise par la valeur qui partage la diagonale de l’inconnue. Le calculateur permet de choisir la case à chercher.
Le tableau reprend l’exemple 4 → 10 et 6 → 15 et recalcule chaque case à partir des trois autres, avec le même code que l’outil. Dans les quatre cas, on retrouve la valeur de départ.
| Case cherchée | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| A | B × C ÷ D = 10 × 6 ÷ 15 | 4 |
| B | A × D ÷ C = 4 × 15 ÷ 6 | 10 |
| C | A × D ÷ B = 4 × 15 ÷ 10 | 6 |
| D | B × C ÷ A = 10 × 6 ÷ 4 | 15 |
Comment vérifier un produit en croix ?
Les deux produits en diagonale doivent être égaux : A × D = B × C. Avec 4 × 15 = 60 et 10 × 6 = 60, le résultat est juste. Vous pouvez aussi vérifier que B ÷ A = D ÷ C : c’est le coefficient de proportionnalité, ici 2,5 € par objet.
Le calculateur affiche ces deux contrôles sous le résultat. Si le coefficient vous paraît absurde (un prix unitaire de 250 € pour une baguette), vous avez probablement inversé deux cases ou mélangé des unités.
Passage à l’unité, coefficient, linéarité : les autres méthodes
Le produit en croix n’est qu’une procédure parmi d’autres. Le même problème se résout par passage à l’unité, par le coefficient de proportionnalité ou par les propriétés de linéarité, souvent plus rapides de tête.
Selon les ressources Éduscol, ces procédures sont travaillées dès le cycle 3 ; le produit en croix n’est introduit qu’au cycle 4, après l’étude de l’égalité des fractions, pour les cas où les nombres rendent la linéarité peu pratique. Elles aident à comprendre pourquoi la formule fonctionne et à repérer un résultat aberrant.
- Passage à l’unité : 4 objets = 10 €, donc 1 objet = 2,50 €, et 6 objets = 6 × 2,50 = 15 €.
- Coefficient : on passe de la colonne quantité à la colonne prix en multipliant par 2,5 ; 6 × 2,5 = 15.
- Linéarité additive : 6 objets = 4 objets + 2 objets = 10 € + 5 € = 15 €.
- Linéarité multiplicative : 12 objets = 3 × 4 objets, donc 3 × 10 = 30 €.
Calculer un pourcentage avec un produit en croix
Placez le total en face de 100 %. La partie en face de l’inconnue donne le pourcentage : 18 élèves sur 24 donnent 18 × 100 ÷ 24 = 75 %. La même disposition permet de retrouver une partie ou un total.
| Question | Tableau | Calcul | Réponse |
|---|---|---|---|
| Quel pourcentage représentent 18 sur 24 ? | 24 → 100 ; 18 → ? | 18 × 100 ÷ 24 | 75 % |
| Combien font 15 % de 80 € ? | 100 → 80 ; 15 → ? | 80 × 15 ÷ 100 | 12 € |
| 30 € représentent 25 % : quel est le total ? | 25 → 30 ; 100 → ? | 30 × 100 ÷ 25 | 120 € |
Exemples de règle de trois au quotidien
Le produit en croix sert dès que deux grandeurs sont proportionnelles : quantité et prix, personnes et ingrédients, distance et carburant, échelle d’un plan, prix au kilo.
- Consommation : 6 L pour 100 km → 6 × 250 ÷ 100 = 15 L pour 250 km.
- Prix au kilo : 2,40 € les 600 g → 2,40 × 1 000 ÷ 600 = 4 € le kilo.
- Vitesse constante : 90 km en 1 h → 90 × 1,5 ÷ 1 = 135 km en 1 h 30.
- Conversion : 1 pouce = 2,54 cm, donc 15 pouces = 15 × 2,54 = 38,1 cm.
- Devise à taux fixe (taux fictif) : si 1 € = 1,10 $, alors 250 € = 250 × 1,10 = 275 $.
Adapter une recette avec la règle de trois
Divisez chaque quantité par le nombre de personnes prévu, puis multipliez par le nombre souhaité. Le tableau adapte une recette pour 4 à 2, 6 et 10 personnes.
Arrondissez les ingrédients indivisibles, comme les œufs, et gardez un œil sur le temps de cuisson : il ne suit pas la même proportion que les quantités, car il dépend surtout de l’épaisseur du plat.
| Ingrédient (pour 4) | Pour 2 | Pour 6 | Pour 10 |
|---|---|---|---|
| Farine : 250 g | 125,0 g | 375,0 g | 625,0 g |
| Sucre : 120 g | 60,0 g | 180,0 g | 300,0 g |
| Beurre : 100 g | 50,0 g | 150,0 g | 250,0 g |
| Lait : 50 cl | 25,0 cl | 75,0 cl | 125,0 cl |
| Œufs : 3 | 1,5 | 4,5 | 7,5 |
Échelles de plans et de cartes
Une échelle est un rapport de proportionnalité. Au 1/50, 1 cm sur le plan représente 50 cm en réalité ; au 1/100, 1 m ; au 1/25 000, 250 m. La distance réelle vaut donc la mesure sur le plan multipliée par le dénominateur.
Pour l’opération inverse, divisez la distance réelle, exprimée dans la même unité, par le dénominateur : 3 km sur une carte au 1/25 000 font 300 000 cm ÷ 25 000 = 12 cm.
| Échelle | 1 cm sur le plan = | Mesure sur le plan | Distance réelle |
|---|---|---|---|
| 1/20 | 20 cm | 12 cm | 2,4 m |
| 1/50 | 50 cm | 7 cm | 3,5 m |
| 1/100 | 1 m | 8,5 cm | 8,5 m |
| 1/25 000 | 250 m | 4 cm | 1 km |
| 1/100 000 | 1 km | 12 cm | 12 km |
La règle de trois inverse
Quand une grandeur augmente pendant que l’autre diminue dans la même proportion, le produit reste constant. Si 2 ouvriers mettent 6 jours, 4 ouvriers mettront 2 × 6 ÷ 4 = 3 jours, et non 12.
Autre exemple : un trajet dure 2 h à 90 km/h. À 120 km/h, il dure 90 × 2 ÷ 120 = 1,5 h, soit 1 h 30. Le mode « Règle de trois inverse » du calculateur fait ce calcul X = A × B ÷ C.
Cette relation suppose que le travail se partage parfaitement. Dans la réalité, doubler l’équipe ne divise pas toujours la durée par deux : coordination, matériel ou tâches séquentielles limitent le gain.
Reconnaître une situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on passe toujours de l’une à l’autre en multipliant par le même nombre. Dans un tableau, les rapports B ÷ A doivent tous être égaux ; sur un graphique, les points sont alignés sur une droite passant par l’origine.
| Situation | Proportionnelle ? |
|---|---|
| Prix : 1 kg → 3 €, 2 kg → 6 €, 5 kg → 15 € | Oui : rapport constant |
| Taxi : 1 km → 7 €, 2 km → 9 €, 5 km → 15 € (prise en charge fixe) | Non : le rapport varie |
| Recette : 4 pers. → 250 g, 6 pers. → 375 g, 10 pers. → 625 g | Oui : rapport constant |
| Âge et taille : 2 ans → 86 cm, 4 ans → 102 cm | Non : le rapport varie |
Erreurs fréquentes et limites
Le produit en croix donne un résultat faux dès que la relation n’est pas proportionnelle, par exemple avec des frais fixes, un tarif dégressif ou des pourcentages successifs. Vérifiez aussi que les unités de chaque colonne sont identiques.
- Frais fixes : un taxi, un abonnement ou une livraison ajoutent un montant indépendant de la quantité.
- Unités mélangées : 250 g et 1,2 kg dans la même colonne donnent un résultat 1 000 fois trop grand ou trop petit.
- Colonnes inversées : placer le prix sous la quantité d’une ligne et au-dessus dans l’autre fausse tout.
- Pourcentages successifs : + 10 % puis − 10 % ne ramènent pas au point de départ.
- Division par zéro : la case qui partage la diagonale de l’inconnue ne peut pas valoir 0.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que la règle de trois ?
C’est la méthode qui permet de trouver une quatrième valeur à partir de trois valeurs proportionnelles. Le produit en croix en est l’écriture la plus courante.
Pourquoi une case ne peut-elle pas valoir 0 ?
Parce qu’on divise par la valeur située sur la même diagonale que l’inconnue. Une situation connue nulle ne permet pas de déduire une proportion.
Comment calculer un prix au kilo ?
Prix × 1 000 ÷ poids en grammes. 3,50 € les 250 g font 3,50 × 1 000 ÷ 250 = 14 € le kilo.
Produit en croix et coefficient de proportionnalité, quelle différence ?
Le coefficient est le nombre par lequel on multiplie une colonne pour obtenir l’autre. Le produit en croix permet de trouver la valeur manquante sans calculer ce coefficient explicitement.
Peut-on faire un produit en croix avec des décimaux ou des fractions ?
Oui. La règle est la même : 1,5 kg pour 4,20 € donne 4,20 × 2 ÷ 1,5 = 5,60 € pour 2 kg.
Le produit en croix fonctionne-t-il avec des nombres négatifs ?
Oui, mathématiquement. Dans la vie courante, les grandeurs sont presque toujours positives : un résultat négatif signale en général une erreur de saisie.
Comment faire une règle de trois inverse ?
Multipliez les deux valeurs de la situation connue et divisez par la nouvelle valeur : X = A × B ÷ C. 3 robinets remplissent une cuve en 8 h, 4 robinets en 3 × 8 ÷ 4 = 6 h.
Sources et méthode
Les calculs reposent sur les formules visibles dans l’outil. Les données réglementaires ou médicales sont comparées aux références ci-dessous à la date de mise à jour.
- Résoudre des problèmes de proportionnalité (ressource d’accompagnement) — Éduscol / ministère de l’Éducation nationale · Procédures (linéarité, passage par l’unité, coefficient) et introduction du produit en croix au cycle 4
- Programme de mathématiques pour le cycle 4 — Ministère de l’Éducation nationale