Comment simplifier une fraction ?
Divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun (PGCD). Pour 84/126, le PGCD vaut 42, donc 84/126 = 2/3. La fraction obtenue est irréductible : on ne peut plus la simplifier.
On peut aussi simplifier par étapes, avec des diviseurs évidents : 84/126 = 42/63 (÷ 2) = 14/21 (÷ 3) = 2/3 (÷ 7). Diviser directement par le PGCD fait tout en une fois et garantit que le résultat est irréductible.
Simplifier ne change pas la valeur de la fraction : 84/126 et 2/3 valent tous deux 0,666… On change seulement l’écriture, comme on écrirait 0,50 sous la forme 0,5.
Trouver le PGCD avec l’algorithme d’Euclide
Divisez le plus grand nombre par le plus petit, puis recommencez avec le diviseur et le reste, jusqu’à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD. Pour 1 071 et 462, on trouve 21, donc 1071/462 = 51/22.
La méthode fonctionne quelle que soit la taille des nombres et demande peu d’étapes : le reste diminue très vite. Le calculateur affiche la même liste de divisions pour la fraction que vous saisissez, en calcul exact sur les entiers.
| Étape | Division euclidienne | Reste |
|---|---|---|
| 1 | 1071 = 2 × 462 + 147 | 147 |
| 2 | 462 = 3 × 147 + 21 | 21 |
| 3 | 147 = 7 × 21 + 0 | 0 |
| PGCD | Dernier reste non nul | 21 |
Les critères de divisibilité pour simplifier de tête
Un nombre est divisible par 2 s’il est pair, par 3 si la somme de ses chiffres l’est, par 4 si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4, par 5 s’il finit par 0 ou 5, par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9 et par 10 s’il finit par 0.
Exemple : 135/225. Les deux nombres finissent par 5 (÷ 5 → 27/45) et la somme de leurs chiffres est divisible par 9 (÷ 9 → 3/5). Pour 11, faites la différence entre la somme des chiffres de rang impair et celle des chiffres de rang pair : si elle est multiple de 11, le nombre l’est aussi.
Simplifier avec la décomposition en facteurs premiers
Décomposez le numérateur et le dénominateur en produits de nombres premiers, puis barrez les facteurs communs. 84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7 : les facteurs communs 2 × 3 × 7 = 42 donnent 84/126 = 2/3.
Cette méthode est pratique pour les petits nombres et montre pourquoi la fraction est irréductible : il ne reste aucun facteur premier commun. Le calculateur affiche les deux décompositions ; l’algorithme d’Euclide reste plus rapide pour les grands nombres.
Exemples de fractions simplifiées
Le tableau montre le PGCD et le résultat pour des fractions fréquentes dans les exercices. Toutes sont calculées par du code testé, et vous pouvez les retrouver dans l’outil.
| Fraction | PGCD | Fraction irréductible |
|---|---|---|
| 12/18 | 6 | 2/3 |
| 15/45 | 15 | 1/3 |
| 24/36 | 12 | 2/3 |
| 42/56 | 14 | 3/4 |
| 75/100 | 25 | 3/4 |
| 84/126 | 42 | 2/3 |
| 120/360 | 120 | 1/3 |
| 144/192 | 48 | 3/4 |
| 35/49 | 7 | 5/7 |
| 17/51 | 17 | 1/3 |
Additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions
Pour additionner ou soustraire, mettez les fractions au même dénominateur, de préférence le PPCM des dénominateurs. Pour multiplier, multipliez numérateurs et dénominateurs entre eux. Pour diviser, multipliez par l’inverse de la seconde fraction. Simplifiez toujours le résultat.
Le mode « Opérations » du calculateur détaille ces étapes. Le tableau ci-dessous est produit par la même fonction : la colonne « Avant simplification » montre le résultat brut, la dernière colonne la fraction irréductible.
| Opération | Calcul | Avant simplification | Résultat simplifié |
|---|---|---|---|
| Addition | 1/4 + 1/6 | 5/12 | 5/12 |
| Addition | 2/3 + 3/4 | 17/12 | 17/12 |
| Soustraction | 5/6 − 1/3 | 3/6 | 1/2 |
| Multiplication | 2/3 × 9/10 | 18/30 | 3/5 |
| Division | 3/4 ÷ 9/8 | 24/36 | 2/3 |
| Entier × fraction | 3 × 5/12 | 15/12 | 5/4 |
Trouver le dénominateur commun : PPCM ou produit ?
Le produit des dénominateurs fonctionne toujours, mais le PPCM donne des nombres plus petits. Pour 1/4 + 1/6, le produit donne 24 (6/24 + 4/24 = 10/24, à simplifier), le PPCM donne directement 12 (3/12 + 2/12 = 5/12).
Le PPCM de deux nombres vaut leur produit divisé par leur PGCD : 4 × 6 ÷ 2 = 12. C’est pourquoi PGCD et PPCM vont ensemble : l’un simplifie, l’autre sert à réduire au même dénominateur.
Quand un dénominateur est un multiple de l’autre, le PPCM est simplement le plus grand des deux : pour 1/3 + 5/12, on garde 12 et on écrit 4/12 + 5/12 = 9/12 = 3/4. Le calculateur choisit toujours le PPCM, puis simplifie si c’est encore possible.
Fraction, nombre décimal et pourcentage
Divisez le numérateur par le dénominateur pour obtenir la valeur décimale, puis multipliez par 100 pour le pourcentage : 3/8 = 0,375 = 37,5 %. Une fraction dont le dénominateur irréductible ne contient que les facteurs 2 et 5 a une écriture décimale finie.
Ainsi 7/20 = 0,35 (20 = 2² × 5), mais 1/3 = 0,333… et 1/7 = 0,142857142857… ont une écriture décimale illimitée périodique. Le calculateur affiche jusqu’à neuf décimales ; la fraction, elle, reste exacte.
| Fraction | Décimal | Pourcentage | Exemple de fraction équivalente |
|---|---|---|---|
| 1/2 | 0,5000 | 50,00 % | 6/12 |
| 1/3 | 0,3333 | 33,33 % | 6/18 |
| 2/3 | 0,6667 | 66,67 % | 12/18 |
| 1/4 | 0,2500 | 25,00 % | 6/24 |
| 3/4 | 0,7500 | 75,00 % | 18/24 |
| 1/5 | 0,2000 | 20,00 % | 6/30 |
| 2/5 | 0,4000 | 40,00 % | 12/30 |
| 1/8 | 0,1250 | 12,50 % | 6/48 |
| 3/8 | 0,3750 | 37,50 % | 18/48 |
| 5/8 | 0,6250 | 62,50 % | 30/48 |
| 1/10 | 0,1000 | 10,00 % | 6/60 |
| 1/12 | 0,0833 | 8,33 % | 6/72 |
Comparer deux fractions
Mettez les deux fractions au même dénominateur, puis comparez les numérateurs. Pour 5/8 et 7/12, le dénominateur commun 24 donne 15/24 et 14/24 : 5/8 est donc légèrement plus grand. Le produit en croix donne le même verdict : 5 × 12 = 60 contre 8 × 7 = 56.
Avec des fractions de même numérateur, c’est l’inverse : plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite, car on partage la même quantité en davantage de parts (3/7 < 3/5). En cas de doute, comparez les valeurs décimales affichées par le calculateur, à condition de ne pas les avoir trop arrondies.
Convertir un nombre décimal, même périodique, en fraction
Écrivez le nombre sur une puissance de 10, puis simplifiez : 0,75 = 75/100 = 3/4. Pour un décimal périodique, notez la période entre parenthèses dans le calculateur : 0,(3) donne 1/3 et 0,1(6) donne 1/6.
Pour une période, la méthode consiste à multiplier par 10 à la puissance de la longueur de la période, puis à soustraire : si x = 0,333…, alors 10x = 3,333…, donc 9x = 3 et x = 1/3. Le tableau est généré par la fonction de conversion de l’outil.
| Décimal saisi | Fraction sur une puissance de 10 (ou période) | Fraction irréductible |
|---|---|---|
| 0,5 | 5/10 | 1/2 |
| 0,75 | 75/100 | 3/4 |
| 0,125 | 125/1000 | 1/8 |
| 2,4 | 24/10 | 12/5 |
| 1,375 | 1375/1000 | 11/8 |
| 0,(3) | 3/9 | 1/3 |
| 0,(6) | 6/9 | 2/3 |
| 0,1(6) | 15/90 | 1/6 |
| 0,(142857) | 142857/999999 | 1/7 |
Fraction impropre et nombre mixte
Une fraction dont le numérateur dépasse le dénominateur peut s’écrire comme un entier plus une fraction inférieure à 1. Pour 7/3, la division euclidienne 7 = 2 × 3 + 1 donne 2 et 1/3.
Pour revenir à la fraction, multipliez l’entier par le dénominateur et ajoutez le numérateur : 2 et 1/3 = (2 × 3 + 1)/3 = 7/3. En calcul, la fraction impropre est souvent plus pratique ; le nombre mixte parle davantage dans une recette ou une mesure.
Pour une fraction négative, le signe porte sur l’ensemble : −7/3 vaut −2 et 1/3, c’est-à-dire −(2 + 1/3), et non −2 + 1/3. Une fraction dont le numérateur est un multiple du dénominateur est un entier : 18/6 = 3, et le calculateur affiche alors directement 3.
Erreurs fréquentes quand on simplifie
On ne simplifie que par un facteur commun, jamais par un terme d’une somme : (2 + 3)/(2 + 5) ne vaut pas 3/5. Une fraction n’est pas non plus simplifiée tant que le PGCD de ses deux termes n’est pas égal à 1.
- Additionner numérateurs et dénominateurs : 1/2 + 1/3 ne fait pas 2/5 mais 5/6.
- Barrer des chiffres : 16/64 = 1/4 est une coïncidence ; la même « méthode » appliquée à 12/24 donnerait 1/4 au lieu de 1/2.
- S’arrêter trop tôt : 24/36 = 12/18 n’est pas irréductible, il faut aller jusqu’à 2/3.
- Oublier le signe : 3/−6 s’écrit −1/2, le signe se place devant ou au numérateur.
- Diviser par zéro : un dénominateur nul n’a pas de sens ; le calculateur le signale.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’une fraction irréductible ?
Une fraction dont le numérateur et le dénominateur n’ont plus aucun diviseur commun autre que 1, comme 2/3 ou 5/8.
Comment simplifier 12/18 ?
Le PGCD de 12 et 18 vaut 6 : 12/18 = 2/3.
Comment simplifier 15/45 ?
Le PGCD de 15 et 45 vaut 15 : 15/45 = 1/3.
Quelle différence entre PGCD et PPCM ?
Le PGCD est le plus grand diviseur commun ; il sert à simplifier. Le PPCM est le plus petit multiple commun ; il sert à mettre des fractions au même dénominateur.
Comment écrire 0,5 et 0,25 en fraction ?
0,5 = 5/10 = 1/2 et 0,25 = 25/100 = 1/4.
Combien fait 3/4 en pourcentage ?
3/4 = 0,75 = 75 %.
Comment savoir si une fraction est irréductible ?
Elle l’est si le PGCD de son numérateur et de son dénominateur vaut 1, comme pour 17/24. Deux nombres premiers entre eux donnent toujours une fraction irréductible.
Comment simplifier une fraction qui contient des lettres ?
Factorisez le numérateur et le dénominateur, puis supprimez le facteur commun en précisant qu’il est non nul : 6x/9x = 2/3 pour x ≠ 0, et (x² − 1)/(x − 1) = x + 1 pour x ≠ 1. Le calculateur ne traite que les fractions de nombres entiers.
Peut-on simplifier une fraction avec des nombres décimaux ?
Multipliez d’abord les deux termes par la même puissance de 10 pour obtenir des entiers : 1,5/4,5 = 15/45 = 1/3.
Sources et méthode
Les calculs reposent sur les formules visibles dans l’outil. Les données réglementaires ou médicales sont comparées aux références ci-dessous à la date de mise à jour.
- Programme de mathématiques pour le cycle 4 — Ministère de l’Éducation nationale
- Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes : les fractions (cycle 4) — Éduscol / ministère de l’Éducation nationale